ÅéóáãùãéêÝò Ìåôáðôõ÷éáêÝò ÅîåôÜóåéò 2001
![next](next_g.png)
![up](up_g.png)
![previous](prev_g.png)
ÅéóáãùãéêÝò åîåôÜóåéò ãéá ôï Ìåôáðôõ÷éáêü Ðñüãñáììá - ÌÝñïò 1ï
ÐñïâëÞìáôá Áðåéñïóôéêïý Ëïãéóìïý
1.
¸óôù
, ãéá
(
åßíáé
èåôéêïß áêÝñáéïé).
Íá âñåèåß ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò óôï Üíù óýíïëï.
2.
Äßíåôáé
ìå
![\begin{displaymath}
f(x) = {1\over 2-\log x}.
\end{displaymath}](img6.png)
¸óôù
![$a_0 = a \in (0,1]$](img7.png)
![$a_{n+1} = f(a_n)$](img8.png)
![$n\ge 0$](img9.png)
![$a_n$](img10.png)
![$a$](img11.png)
3.
(á) Õðïëïãßóôå ôï
![\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2} dx dy.
\end{displaymath}](img12.png)
(â) Õðïëïãßóôå ôï
![$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$](img13.png)
4.
(á) ¸óôù
óõíå÷Þò ôÝôïéá þóôå ãéá êÜèå óõíå÷Þ
óõíÜñôçóç
íá Ý÷ïõìå
![\begin{displaymath}
\int_0^1 f(x)\phi(x) dx = 0.
\end{displaymath}](img16.png)
Äåßîôå üôé ç
![$f$](img4.png)
![$0$](img17.png)
(â) Áí
óõíå÷Þò,
, êáé ãéá êÜèå óõíå÷Þ
óõíÜñôçóç
ìå
Ý÷ïõìå
![\begin{displaymath}
\int_0^1 f(x)\phi(x) dx = 0,
\end{displaymath}](img20.png)
ôé ìðïñåßôå íá óõìðåñÜíåôå ãéá ôçí
![$f$](img4.png)
5.
¸óôù áêïëïõèßá ìå
êáé
![\begin{displaymath}
4a_{n+1}(1-a_n) \ge 1
\end{displaymath}](img22.png)
ãéá êÜèå
![$n$](img23.png)
Äåßîôå .
6.
(á) ¸óôù
ìå
, ãéá
.
Äåßîôå üôé
õðÜñ÷åé êáé õðïëïãßóôå ôï.
(â) Äåßîôå üôé õðÜñ÷åé
, ðáñáãùãßóéìç óôï ðåäßï
ïñéóìïý ôçò, áëëÜ ìå ôçí
íá åßíáé áóõíå÷Þò óôï
.
7.
¸óôù
êáé õðïèÝóôå üôé
![\begin{displaymath}
f(x)+f'(x) \to 0,
\end{displaymath}](img30.png)
üôáí
![$x\to\infty$](img31.png)
Äåßîôå üôé
.
ÐñïâëÞìáôá ÃñáììéêÞò ¶ëãåâñáò
8.
(á) Áí
êáé êÜðïéïò áðü ôïõò
,
åßíáé ìç éäéÜæùí ôüôå
ïé ðßíáêåò
êáé
åßíáé üìïéïé.
(â) Âñåßôå äýï (éäéÜæïíôåò) ðßíáêåò
ôÝôïéïõò þóôå ïé
êáé
íá ìçí åßíáé üìïéïé.
9.
(á) Äßäåôáé
![\begin{displaymath}
W = {\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in{\mathbf R}^4: x_1+2x_2=x_3+2x_4}\right\}}.
\end{displaymath}](img38.png)
(i) Äåßîôå üôé
![$W$](img39.png)
![${\mathbf R}^4$](img40.png)
(ii) Íá âñåèåß ìéá âÜóç êáé ç äéÜóôáóç ôïõ
![$W$](img39.png)
(iii) Íá âñåèåß âÜóç ôïõ
![$W$](img39.png)
![$(1,0,1,0)$](img41.png)
![$(0,1,0,1)$](img42.png)
(â) Íá âñåèïýí ôá éäéïäéáíýóìáôá ôïõ åíäïìïñöéóìïý
![\begin{displaymath}
(x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2, x_1+x_2, x_2-x_3)
\end{displaymath}](img43.png)
ôïõ
![${\mathbf R}^3$](img44.png)
10.
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá
![\begin{displaymath}
\begin{array}{llllll}
n x_1 & -x_2 & \cdots & -x_n & = & b_1...
... & & \\
-x_1 & -x_2 & \cdots & +n x_n & = & b_n
\end{array}\end{displaymath}](img45.png)
11.
¸óôù
,
.
Áí
ôüôå ï ðßíáêáò
ìå óôïé÷åßá
,
, åßíáé äéáãùíéïðïéÞóéìïò.
Íá âñåèåß Ýíáò äéáãþíéïò ðßíáêáò üìïéïò ìå ôïí .
12.
(á) Áí êáé
åßíáé äýï åíäïìïñöéóìïß åíüò äéáíõóìáôéêïý ÷þñïõ
ðåðåñáóìÝíçò äéÜóôáóçò äåßîôå üôé
.
(â) ¸óôù óþìá,
Ýíáò
-äéáíõóìáôéêüò ÷þñïò äéÜóôáóçò
,
êáé
![\begin{displaymath}\phi, \sigma \in {\rm End}_K(V)
\end{displaymath}](img55.png)
ôÝôïéá þóôå
![\begin{displaymath}
\phi+\sigma=1_V.
\end{displaymath}](img56.png)
(i) Äåßîôå üôé
![${\rm rank}(\phi) + {\rm rank}(\sigma) \ge n$](img57.png)
(ii) Áí óôçí ðáñáðÜíù áíéóüôçôá éó÷ýåé ç éóüôçôá äåßîôå üôé
![$\phi\sigma = \sigma\phi = 0$](img58.png)
![$\phi^2=\phi$](img59.png)
![$\sigma^2=\sigma$](img60.png)
ÊáëÞ åðéôõ÷ßá. Ã. ÁíôùíéÜäçò, Ì. ÊïëïõíôæÜêçò, Á. Ôåñôßêáò
ÇñÜêëåéï, 27 Éïõëßïõ 2001
![next](next_g.png)
![up](up_g.png)
![previous](prev_g.png)
ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí