Εισαγωγικές Μεταπτυχιακές Εξετάσεις 2001

Document Actions

ΠΑΝΕΠΙΣΤήΜΙΟ ΚΡήΤΗ� - ΤΜήΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚήΝ

Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 1ο

Προβλήματα Απειροστικού Λογισμού

1. Έστω $f(x,y) = x^{2n}y^{2m}$ , για $x^2+y^2 \le 1$ ( είναι θετικοί ακέραιοι).

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο άνω σύνολο.

2. Δίνεται $f:(0,1]\to{\mathbf R}$ με

$\begin{displaymath} f(x) = {1\over 2-\log x}. \end{displaymath}$

Έστω $a_0 = a \in (0,1]$ , και $a_{n+1} = f(a_n)$ για $n\ge 0$ . Δείξτε ότι η

συγκλίνει σε όριο ανεξάρτητο του

3. (α) Υπολογίστε το

$\begin{displaymath} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2} dx dy. \end{displaymath}$

(β) Υπολογίστε το $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$ .

4. (α) Έστω $f:[0,1]\to{\mathbf R}$ συνεχής τέτοια ώστε για κάθε συνεχή συνάρτηση $\phi$ να έχουμε

$\begin{displaymath} \int_0^1 f(x)\phi(x) dx = 0. \end{displaymath}$

Δείξτε ότι η

είναι ταυτοτικά

(β) Αν $f:[0,1]\to{\mathbf R}$ συνεχής, , και για κάθε συνεχή συνάρτηση $\phi$ με $\int_0^1 \phi(x) dx = 0$ έχουμε

$\begin{displaymath} \int_0^1 f(x)\phi(x) dx = 0, \end{displaymath}$

τι μπορείτε να συμπεράνετε για την

5. Έστω ακολουθία με και

$\begin{displaymath} 4a_{n+1}(1-a_n) \ge 1 \end{displaymath}$

για κάθε

Δείξτε $a_n \to 1/2$ .

6. (α) Έστω $f:[0,1]\to{\mathbf R}$ με $0\le f(x) \le x^2$ , για $x\in[0,1]$ . Δείξτε ότι υπάρχει και υπολογίστε το.

(β) Δείξτε ότι υπάρχει $f:[0,1]\to{\mathbf R}$ , παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, αλλά με την να είναι ασυνεχής στο .

7. Έστω $f:[0,\infty)\to{\mathbf R}$ και υποθέστε ότι

$\begin{displaymath} f(x)+f'(x) \to 0, \end{displaymath}$

όταν $x\to\infty$ .

Δείξτε ότι $\lim_{x\to\infty}f(x) = 0$ .

Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας

8. (α) Αν $A, B \in M_n({\mathbf R})$ και κάποιος από τους , είναι μη ιδιάζων τότε οι πίνακες και είναι όμοιοι.

(β) Βρείτε δύο (ιδιάζοντες) πίνακες $A, B \in M_n({\mathbf R})$ τέτοιους ώστε οι και να μην είναι όμοιοι.

9. (α) Δίδεται

$\begin{displaymath} W = {\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in{\mathbf R}^4: x_1+2x_2=x_3+2x_4}\right\}}. \end{displaymath}$

(i) Δείξτε ότι

είναι διαν. υπόχωρος του ${\mathbf R}^4$ .
(ii) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του

.
(iii) Να βρεθεί βάση του

που να περιέχει τα

και

(β) Να βρεθούν τα ιδιοδιανύσματα του ενδομορφισμού

$\begin{displaymath} (x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2, x_1+x_2, x_2-x_3) \end{displaymath}$

του ${\mathbf R}^3$ .

10. Να λυθεί το σύστημα

$\begin{displaymath} \begin{array}{llllll} n x_1 & -x_2 & \cdots & -x_n & = & b_1... ... & & \\ -x_1 & -x_2 & \cdots & +n x_n & = & b_n \end{array}\end{displaymath}$

11. Έστω $a_i, b_i \in {\mathbf R}$ , $i=1,\ldots,n$ . Αν $a_1b_1+\cdots+a_nb_n \neq 0$ τότε ο πίνακας με στοιχεία $A_{ij} = a_ib_j$ , $i,j=1,\ldots,n$ , είναι διαγωνιοποιήσιμος.

Να βρεθεί ένας διαγώνιος πίνακας όμοιος με τον .

12. (α) Αν και είναι δύο ενδομορφισμοί ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διάστασης δείξτε ότι ${\rm rank} (a+b) \le {\rm rank}(a) + {\rm rank}(b)$ .

(β) Έστω σώμα, ένας -διανυσματικός χώρος διάστασης , και

$\begin{displaymath}\phi, \sigma \in {\rm End}_K(V) \end{displaymath}$

τέτοια ώστε

$\begin{displaymath} \phi+\sigma=1_V. \end{displaymath}$

(i) Δείξτε ότι ${\rm rank}(\phi) + {\rm rank}(\sigma) \ge n$ .
(ii) Αν στην παραπάνω ανισότητα ισχύει η ισότητα δείξτε ότι $\phi\sigma = \sigma\phi = 0$ , $\phi^2=\phi$ και $\sigma^2=\sigma$ .

Καλή επιτυχία. Γ. Αντωνιάδης, Μ. Κολουντζάκης, Α. Τερτίκας

Ηράκλειο, 27 Ιουλίου 2001

Τμήμα Μαθηματικών

Συντάκτης manager
Τελευταία τροποποίηση 2005-04-23 18:03

Τμήμα Μαθηματικών - Πανεπιστημίου Κρήτης

Τμήματα

Προσωπικά εργαλεία

Πλοήγηση

Εισαγωγικές Μεταπτυχιακές Εξετάσεις 2001

Document Actions

Τμήμα Μαθηματικών - Πανεπιστημίου Κρήτης

Τμήματα

Προσωπικά εργαλεία

Πλοήγηση

Είσοδος

Εισαγωγικές Μεταπτυχιακές Εξετάσεις 2001

Document Actions