Μετάβαση στο περιεχόμενο.

Τμήμα Μαθηματικών - Πανεπιστημίου Κρήτης

Τμήματα
Προσωπικά εργαλεία
Βρίσκεστε εδώ: Αρχική Σελίδα » old_page » announce » grad2001a

Εισαγωγικές Μεταπτυχιακές Εξετάσεις 2001

Document Actions
Εισαγωγικές Μεταπτυχιακές Εξετάσεις 2001
next up previous


ΠΑΝΕΠΙΣΤήΜΙΟ ΚΡήΤΗ� - ΤΜήΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚήΝ

Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 1ο

Προβλήματα Απειροστικού Λογισμού

1. Έστω $f(x,y) = x^{2n}y^{2m}$, για $x^2+y^2 \le 1$ ($m, n$ είναι θετικοί ακέραιοι).

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της $f$ στο άνω σύνολο.

2. Δίνεται $f:(0,1]\to{\mathbf R}$ με

\begin{displaymath}
f(x) = {1\over 2-\log x}.
\end{displaymath}

Έστω $a_0 = a \in (0,1]$, και $a_{n+1} = f(a_n)$ για $n\ge 0$. Δείξτε ότι η $a_n$ συγκλίνει σε όριο ανεξάρτητο του $a$.

3. (α) Υπολογίστε το

\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2} dx dy.
\end{displaymath}

(β) Υπολογίστε το $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$.

4. (α) Έστω $f:[0,1]\to{\mathbf R}$ συνεχής τέτοια ώστε για κάθε συνεχή συνάρτηση $\phi$ να έχουμε

\begin{displaymath}
\int_0^1 f(x)\phi(x) dx = 0.
\end{displaymath}

Δείξτε ότι η $f$ είναι ταυτοτικά $0$.

(β) Αν $f:[0,1]\to{\mathbf R}$ συνεχής, $f(0)=1$, και για κάθε συνεχή συνάρτηση $\phi$ με $\int_0^1 \phi(x) dx = 0$ έχουμε

\begin{displaymath}
\int_0^1 f(x)\phi(x) dx = 0,
\end{displaymath}

τι μπορείτε να συμπεράνετε για την $f$?

5. Έστω ακολουθία $a_n$ με $0<a_n<1$ και

\begin{displaymath}
4a_{n+1}(1-a_n) \ge 1
\end{displaymath}

για κάθε $n$.

Δείξτε $a_n \to 1/2$.

6. (α) Έστω $f:[0,1]\to{\mathbf R}$ με $0\le f(x) \le x^2$, για $x\in[0,1]$. Δείξτε ότι $f'(0)$ υπάρχει και υπολογίστε το.

(β) Δείξτε ότι υπάρχει $f:[0,1]\to{\mathbf R}$, παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, αλλά με την $f'$ να είναι ασυνεχής στο $0$.

7. Έστω $f:[0,\infty)\to{\mathbf R}$ και υποθέστε ότι

\begin{displaymath}
f(x)+f'(x) \to 0,
\end{displaymath}

όταν $x\to\infty$.

Δείξτε ότι $\lim_{x\to\infty}f(x) = 0$.

Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας

8. (α) Αν $A, B \in M_n({\mathbf R})$ και κάποιος από τους $A$, $B$ είναι μη ιδιάζων τότε οι πίνακες $AB$ και $BA$ είναι όμοιοι.

(β) Βρείτε δύο (ιδιάζοντες) πίνακες $A, B \in M_n({\mathbf R})$ τέτοιους ώστε οι $AB$ και $BA$ να μην είναι όμοιοι.

9. (α) Δίδεται

\begin{displaymath}
W = {\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in{\mathbf R}^4: x_1+2x_2=x_3+2x_4}\right\}}.
\end{displaymath}

(i) Δείξτε ότι $W$ είναι διαν. υπόχωρος του ${\mathbf R}^4$.
(ii) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του $W$.
(iii) Να βρεθεί βάση του $W$ που να περιέχει τα $(1,0,1,0)$ και $(0,1,0,1)$.

(β) Να βρεθούν τα ιδιοδιανύσματα του ενδομορφισμού

\begin{displaymath}
(x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2, x_1+x_2, x_2-x_3)
\end{displaymath}

του ${\mathbf R}^3$.

10. Να λυθεί το σύστημα

\begin{displaymath}
\begin{array}{llllll}
n x_1 & -x_2 & \cdots & -x_n & = & b_1...
... & & \\
-x_1 & -x_2 & \cdots & +n x_n & = & b_n
\end{array}\end{displaymath}

11. Έστω $a_i, b_i \in {\mathbf R}$, $i=1,\ldots,n$. Αν $a_1b_1+\cdots+a_nb_n \neq 0$ τότε ο πίνακας $A$ με στοιχεία $A_{ij} = a_ib_j$, $i,j=1,\ldots,n$, είναι διαγωνιοποιήσιμος.

Να βρεθεί ένας διαγώνιος πίνακας όμοιος με τον $A$.

12. (α) Αν $a$ και $b$ είναι δύο ενδομορφισμοί ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διάστασης δείξτε ότι ${\rm rank} (a+b) \le {\rm rank}(a) + {\rm rank}(b)$.

(β) Έστω $K$ σώμα, $V$ ένας $K$-διανυσματικός χώρος διάστασης $n$, και

\begin{displaymath}\phi, \sigma \in {\rm End}_K(V)
\end{displaymath}

τέτοια ώστε

\begin{displaymath}
\phi+\sigma=1_V.
\end{displaymath}

(i) Δείξτε ότι ${\rm rank}(\phi) + {\rm rank}(\sigma) \ge n$.
(ii) Αν στην παραπάνω ανισότητα ισχύει η ισότητα δείξτε ότι $\phi\sigma = \sigma\phi = 0$, $\phi^2=\phi$ και $\sigma^2=\sigma$.

Καλή επιτυχία. Γ. Αντωνιάδης, Μ. Κολουντζάκης, Α. Τερτίκας

Ηράκλειο, 27 Ιουλίου 2001


next up previous
Τμήμα Μαθηματικών
Συντάκτης manager
Τελευταία τροποποίηση 2005-04-23 18:03
 
 

Κατασκευή απο το Plone

Ο ιστοχώρος συμμορφώνεται με με τις ακόλουθες προδιαγραφές: