Εισαγωγικές Μεταπτυχιακές Εξετάσεις 2001



Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 1ο
Προβλήματα Απειροστικού Λογισμού
1.
Έστω
, για
(
είναι
θετικοί ακέραιοι).
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο άνω σύνολο.
2.
Δίνεται
με

Έστω
![$a_0 = a \in (0,1]$](img7.png)




3.
(α) Υπολογίστε το

(β) Υπολογίστε το

4.
(α) Έστω
συνεχής τέτοια ώστε για κάθε συνεχή
συνάρτηση
να έχουμε

Δείξτε ότι η


(β) Αν
συνεχής,
, και για κάθε συνεχή
συνάρτηση
με
έχουμε

τι μπορείτε να συμπεράνετε για την

5.
Έστω ακολουθία με
και

για κάθε

Δείξτε .
6.
(α) Έστω
με
, για
.
Δείξτε ότι
υπάρχει και υπολογίστε το.
(β) Δείξτε ότι υπάρχει
, παραγωγίσιμη στο πεδίο
ορισμού της, αλλά με την
να είναι ασυνεχής στο
.
7.
Έστω
και υποθέστε ότι

όταν

Δείξτε ότι
.
Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας
8.
(α) Αν
και κάποιος από τους
,
είναι μη ιδιάζων τότε
οι πίνακες
και
είναι όμοιοι.
(β) Βρείτε δύο (ιδιάζοντες) πίνακες
τέτοιους ώστε οι
και
να μην είναι όμοιοι.
9.
(α) Δίδεται

(i) Δείξτε ότι


(ii) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του

(iii) Να βρεθεί βάση του



(β) Να βρεθούν τα ιδιοδιανύσματα του ενδομορφισμού

του

10.
Να λυθεί το σύστημα

11.
Έστω
,
.
Αν
τότε ο πίνακας
με στοιχεία
,
, είναι διαγωνιοποιήσιμος.
Να βρεθεί ένας διαγώνιος πίνακας όμοιος με τον .
12.
(α) Αν και
είναι δύο ενδομορφισμοί ενός διανυσματικού χώρου
πεπερασμένης διάστασης δείξτε ότι
.
(β) Έστω σώμα,
ένας
-διανυσματικός χώρος διάστασης
,
και

τέτοια ώστε

(i) Δείξτε ότι

(ii) Αν στην παραπάνω ανισότητα ισχύει η ισότητα δείξτε ότι



Καλή επιτυχία. Γ. Αντωνιάδης, Μ. Κολουντζάκης, Α. Τερτίκας
Ηράκλειο, 27 Ιουλίου 2001



Τμήμα Μαθηματικών