Εφαρμογές της 12#12

Η ανάλυση της ιδιάζουσας τιμής ( 978#978) έχει πολλές σημαντικές εφαρμογές, μεταξύ των οποίων είναι και οι ακόλουθες:

• Ευκλείδεια νόρμα ενός πίνακα. Η νόρμα ενός πίνακα υστερεί στο ότι η νόρμα του Ευκλείδειου διανύσματος δίνεται από τη μεγαλύτερη ιδιοτιμή του πίνακα,
  
  979#979
  
  

• Αριθμός κατάστασης ενός πίνακα. Η σχέση που συνδέει τον αριθμό κατάστασης ενός πίνακα Α με την Ευκλείδεια νόρμα δίνεται από το πηλίκο

  
  

  980#980
  
  

  Αυτό το αποτέλεσμα συμφωνεί με τον ορισμό του 981#981 για έναν τετραγωνικό πίνακα που δίνεται στην Ενότητα 2.3.3 όταν χρησιμοποιούμε την Ευκλείδεια νόρμα, και επιπλέον μας δίνει τη δυνατότητα να αναζητήσουμε έναν αριθμό κατάστασης για έναν ορθογώνιο πίνακα. Ακριβώς όπως ο αριθμός κατάστασης για έναν τετραγωνικό πίνακα μετράει το πόσο κοντά βρισκόμαστε στην ιδιάζουσα περίπτωση, έτσι και ο αριθμός κατάστασης ενός ορθογώνιου πίνακα μας δείχνει "πόσο κοντά" βρισκόμαστε στην κατάσταση έλλειψης γραμμών.

• Οι γραμμές ενός πίνακα. Θεωρητικά, ο αριθμός των γραμμών ενός πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των μη μηδενικών ιδιοτιμών που έχει. Παρόλα αυτά, στην πράξη, οι γραμμές μπορεί να μην είναι καλής κατάστασης και γι' αυτό μερικές ιδιοτιμές μπορεί να είναι πολύ μικρές αλλά όχι μηδενικές. Γι' αυτούς και για άλλους λόγους, μπορεί να είναι καλύτερα να θεωρήσουμε αμελητέες όσες ιδιοτιμές πέφτουν κάτω από κάποιο όριο, κατά τον υπολογισμό του "αριθμητικού πλήθους γραμμών" του πίνακα. Ένος τρόπος να το μεταφράσουμε αυτό είναι ότι ο δοσμένος πίνακας βρίσκεται πολύ κοντά (π.χ., κάτω από το δοσμένο όριο) έναν πίνακα με το προκαθορισμένο πλήθος γραμμών.

• Η επίλυση γραμμικών συστημάτων ή γραμμικών προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων. Η ελάχιστη λύση Ευκλείδιας νόρμας της εξίσωσης 878#878 δίνεται από τον:
  
  982#982
  
  

  Η 12#12 είναι εξαιρετικά χρήσιμη για προβλήματα κακής κατάστασης ή έλλειψης γραμμών, αφού οι "μικρές" ιδιοτιμές μπορούν να απορριφθούν από το άθροισμα, κάνοντας έτσι πιο σταθερό το πρόβλημα (το κάνει πολύ λιγότερο ευαίσθητο στις μετατροπές των δεδομένων).

• Ψευδοαντιστροφή ενός πίνακα. Ορίζουμε την ψευδοαντιστροφή ενός βαθμωτού μεγέθους σ ως το 1/σ αν σ 983#983, αλλιώς ως το μηδέν. Ορίζουμε την ψευδοαντιστροφή ενός (πιθανά ορθογώνιου) διαγωνίου πίνακα με το να αλληλομεταθέτουμε τα στοιχεία του πίνακα και να παίρνουμε την ψευδοαντιστροφή του κάθε βαθμωτού στοιχείου του. Τότε, η ψευδοαντιστροφή ενός γενικού πραγματικού 364#364 πίνακα Α, που συμβολίζεται από το 984#984, δίνεται από τη σχέση:

  
  

  985#985
  
  

  Σημειώστε ότι η ψευδοαντιστροφή υφίσταται πάντα ανεξάρτητα από το αν ο πίνακας είναι τετραγωνικός ή πλήρης γραμμών. Αν ο Α είναι τετραγωνικός και μη ιδιάζον, τότε ο ψευδοαντίστροφος είναι ο ίδιος με τον συνηθισμένο ανάστροφο πίνακα, 547#547 Σε κάθε περίπτωση, η λύση της ελάχιστης νόρμας στο πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων 878#878 δίνεται από το 986#986.

• Ορθοκανονικές βάσεις για πεδία και μηδενόχωρους. Οι στήλες του 592#592 οι οποίες αντιστοιχούν σε μηδενικές ιδιοτιμές, σχηματίζουν μία ορθοκανονική βάση για τον μηδενόχωρο του 369#369. Οι υπόλοιπες στήλες του 592#592 σχηματίζουν μία ορθοκανονική βάση για το ορθογώνιο συμπλήρωμα του μηδενόχωρου αυτού. Αντίστοιχα, οι στήλες του 108#108 που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιοτιμές σχηματίζουν μία ορθοκανονική βάση για το πεδίο τιμών του 369#369, και οι υπόλοιπες στήλες του 108#108 σχηματίζουν μία ορθοκανονική βάση για το ορθογώνιο συμπλήρωμα του πεδίου τιμών.

• Η προσέγγιση ενός πίνακα μέσω ενός χαμηλότερης τάξης. Ένας άλλος τρόπος να γράψουμε την 12#12 είναι:
  
  987#987
  
  
  όπου 988#988. Κάθε 989#989 είναι τάξης 1 και μπορεί να αποθηκευθεί χρησιμοποιώντας ως μόνο 990#990 περιοχές αποθήκευσης. Επιπλέον, το γινόμενο 991#991 μπορεί να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας μόνο 990#990 πολλαπλασιασμούς. Άρα, μπορούμε να πάρουμε μία συρρικνωμένη προσέγγιση για τον Α αν παραλείψουμε από το παραπάνω άθροισμα αυτούς τους όρους που αντιστοιχούν στις μικρότερες ιδιοτιμές, αφού επηρεάζουν σχετικά λίγο το άθροισμα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτός ο προσεγγιστικός πίνακας που χρησιμοποιεί τις 432#432 μεγαλύτερες ιδιοτιμές είναι ο πιο κοντινός πίνακας τάξεως 432#432 στον 369#369, ως προς τη νόρμα 992#992. (Η νόρμα 992#992 ενός πίνακα 364#364 είναι η Ευκλείδια νόρμα του πίνακα αν αυτός θεωρηθεί ως διάνυσμα του 993#993.) Μία τέτοια προσέγγιση είναι χρήσιμη κατά τη διαδικασία απεικόνισης, κατά τη συρρίκνωση δεδομένων, την κρυπτογραφία, και για πλήθος άλλες εφαρμογές.

• Άθροισμα ελαχίστων τετραγώνων. Σε ένα συνηθισμένο γραμμικό πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων 383#383 μπορούμε αναμφίβολα να υποθέσουμε ότι τα στοιχεία του 369#369 είναι γνωστά επ' ακριβώς, ενώ τα στοιχεία του 365#365 εξαρτώνται από το σφάλμα. Στα προβλήματα (?προσαρμογής καμπυλών?) ή (?994#994?) όπου όλες οι μεταβλητές εξαρτώνται από το σφάλμα μετρήσεων ή από άλλη αβεβαιότητα, ίσως να είναι πιο λογικό να ελαχιστοποιήσουμε τις ορθογώνιες αποστάσεις ανάμεσα στα στοιχεία δεδομένων και την καμπύλη, παρά τις κάθετες αποστάσεις όπως σε ένα συνήθες πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων. Μία τέτοια αθροιστική λύση ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διάσπασης της ιδιοτιμής 995#995. Δεδομένου ότι το 996#996 είναι απλό και ότι ισχύει 997#997, τότε η αθροιστική λύση ελαχίστων τετραγώνων δίνεται από το
  
  998#998
  
  

Τα πιο γενικά προβλήματα, για παράδειγμα αυτά με πολλαπλά δεξιά μέλη και με μερικές από τις μεταβλητές γνωστές επ' ακριβώς, μπορούμε να τα χειριστούμε με μία ανάλογη προσέγγιση αλλά είναι πολύ πιο πολύπλοκα (βλ. [259] για λεπτομέρειες).