?

Χρησιμοποιώντας μετατροπές 771#771, μπορούμε να εισάγουμε διαδοχικά μηδενικά, χωριστά σε κάθε στήλη, κάτω από τη διαγώνιο ενός πίνακα Α και να τον υποβιβάσουμε σε πίνακα άνω τριγωνικής μορφής. Κάθε μετατροπή 771#771 πρέπει να εφαρμόζεται στο τμήμα του πίνακα που δεν έχει ακόμα υποβιβαστεί, αλλά παρόλα αυτά δεν θα επηρέαζε και στήλες που έχουν ήδη υποβιβαστεί (και άρα τα μηδενικά προστατεύονται). Όταν εφαρμόζουμε ένα μετατροπή 771#771 σε ένα τυχαίο διάνυσμα 33#33, παρατηρούμε ότι

που είναι πραγματικά πιο οικονομικό στον υπολογισμό από ότι ένας πολλαπλασιασμός ενός τυχαίου διανύσματος με πίνακα και το μόνο που χρειάζεται είναι να γνωρίζουμε το διάνυσμα 774#774.

Η διαδικασία που μόλις περιγράψαμε παράγει μία παραγοντοποίηση της μορφής

όπου ο 777#777 είναι άνω τριγωνικός. Και το ίδιο το γινόμενο των διαδοχικών μετατροπών 771#771 778#778 είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Άρα, αν πάρουμε

τότε

Άρα, έχουμε πράγματι υπολογίσει την παραγοντοποίηση 8#8 του πίνακα 363#363, την οποία μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε το γραμμικό πρόβλημα των ελαχίστων τετραγώνων. Όμως, για να προστατέψουμε τη λύση, πρέπει να μετατρέψουμε το διάνυσμα 86#86 του δεξιού μέλους σύμφωνα με τον ίδιο αλγόριθμο της μετατροπής 771#771. Τότε μπορούμε να λύσουμε το ισοδύναμο τριγωνικό πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων

Για να λύσουμε το γραμμικό πρόβλημα των ελαχίστων τετραγώνων, ο παράγοντας ?? που προέρχεται από τις μετατροπές 771#771 δεν χρειάζεται να είναι σχηματισμένος επ' ακριβώς. Στο μεγαλύτερο μέρος του λογισμικού που χρησιμοποιείται για αυτό το πρόβλημα, ο πίνακας 777#777 αποθηκεύεται στο άνω τριγωνικό μέρος του αρχικού πίνακα που περιείχε τον 369#369, ενώ τα διανύσματα v που απαιτούνται για τις ξεχωριστές μετατροπές 771#771 αποθηκεύονται στο (τώρα μηδενικό) κάτω τριγωνικό τμήμα του 369#369. (Τεχνικά, απαιτείται ένα επιπλέον διάνυσμα για αποθήκευση, αφού πρέπει να αποθηκευτούν και οι κύριες διαγώνιοι των ?? και ??.) Όπως έχουμε δει, οι μετατροπές 771#771 εφαρμόζονται ούτως ή άλλως πιο εύκολα όταν είναι σε αυτή τη μορφή (σε αντίθεση με τον ακριβή πολλαπλασιασμό πίνακα με διάνυσμα), οπότε τα διανύσματα v είναι τα μόνα που χρειαζόμαστε για να λύσουμε το αρχικό πρόβλημα των ελαχίστων τετραγώνων, όπως και καθένα από τα προβλήματα που ακολουθούν και έχουν τον ίδιο πίνακα αλλά διαφορετικά διανύσματα στο δεξί μέλος. Παρόλα αυτά, αν ο πίνακας ?? χρειάζεται να υπολογιστεί ακριβώς για κάποιον άλλο λόγο, τότε μπορεί να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας κάθε μετατροπή 771#771 που παράγεται, με έναν πίνακα ο οποίος αρχικά είναι ο ταυτοτικός, αλλά αυτός ο υπολογισμός θα απαιτήσει επιπρόσθετο χώρο αποθήκευσης.