Εκτίμηση Ακρίβειας

Εκτός από το να είναι μία αξιόπιστη ένδειξη του πόσο κοντά είναι σε ιδιάζουσα κατάσταση, ο δείκτης κατάστασης παρέχει επίσης ποσοτική εκτίμηση του σφάλματος της υπολογισθείσας λύσης ενός γραμμικού συστήματος, όπως θα δούμε τώρα. Εστω ότι 33#33 είναι η λύση του μη ιδιάζοντος γραμμικού συστήματος 383#383 και έστω ότι 47#47 είναι η λύση του συστήματος 676#676 με διαταραγμένο δεξιό μέλος. Αν ορίσουμε 677#677 τότε έχουμε

Μία γεωμετρική ερμηνεία αυτής της ευαισθησίας των αποτελεσμάτων στις δύο διαστάσεις είναι ότι αν οι δύο ευθείες γραμμές που ορίζονται από τις δύο εξισώσεις είναι σχεδόν παράλληλες, τότε το σημείο τομής τους δεν ορίζεται ξεκάθαρα αν οι δύο γραμμές είναι λίγο ασαφείς εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγύλευσης ή σφαλμάτων άλλων πηγών. Εξάλλου, αν οι γραμμές απέχουν πολύ από την παραλληλία, ας πούμε είναι σχεδόν κάθετες, τότε η τομή τους ορίζεται σχετικά ξεκάθαρα. Αυτές οι δύο περιπτώσεις φαίνονται στο Σχήμα 2.2, όπου οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν την περιοχή αβεβαιότητας για κάθε μια πλήρη γραμμή, οπότε το σημείο τομής σε κάθε μία περίπτωση θα μπορούσε να είναι οπουδήποτε μέσα στο σκιασμένο παραλληλόγραμμο. Αρα, ένας μεγάλος δείκτης κατάστασης συνδέεται με μεγάλη αβεβαιότητα για τη λύση.

Συνοψίζοντας, αν τα δεδομένα εισόδου είναι κοντά στην ακρίβεια της μηχανής, τότε μία λογική εκτίμηση του σχετικού σφάλματος της υπολογισθείσας λύσης του γραμμικού συστήματος δίνεται από τη σχέση

Πριν αφήσουμε το θέμα της εκτίμησης της ακρίβειας σε όρους δεικτών κατάστασης, σημειώστε αυτές τις δυο προειδοποιήσεις:

• Η προηγηθείσα ανάλυση εκτιμά το σχετικό σφάλμα στα μεγαλύτερα στοιχεία του διανύσματος της λύσης. Το σχετικό σφάλμα στα μικρότερα στοιχεία μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο, γιατί η διανυσματική νόρμα κυριαρχείται από τα μεγαλύτερα στοιχεία του διανύσματος. Τα φράγματα στα σφάλματα ανά συνιστώσα μπορούν να ληφθούν αλλά είναι κάπως πιο πολύπλοκο να υπολογιστούν, και δε θα ασχοληθούμε με το θέμα αυτό. Τα ανά συνιστώσα φράγματα είναι ιδιαίτερα ενδιαφέροντα όταν το σύστημα δεν είναι καλά σταθμισμένο.
• Ο δείκτης κατάστασης ενός πίνακα επηρεάζεται από την στάθμιση του πίνακα (θυμηθείτε το Παράδειγμα 2.3). Ενας μεγάλος δείκτης κατάστασης μπορεί να προκύψει απλά από κακή στάθμιση του πίνακα, καθώς επίσης και από σχεδόν ιδιάζουσα κατάσταση. Η επαναστάθμιση του πίνακα μπορεί να βοηθήσει στην καλυτέρευση του δείκτη κατάστασης, αλλά όχι στη σχεδόν ιδιάζουσα κατάσταση (δείτε Κεφάλαιο 2.4.3).