Δείκτης (Αριθμός) Κατάστασης ενός Πίνακα

Ο δείκτης κατάστασης ενός τετραγωνικού μη ιδιάζοντα πίνακα 369#369, με βάση δοσμένη νόρμα, ορίζεται ως:

Ο δείκτης κατάστασης αποτελεί ένα μέτρο του πόσο κοντά βρίσκεται του πίνακα από το να είναι ιδιάζων: ένας πίνακας με μεγάλο αριθμό κατάστασης (τον οποίο θα υπολογίσουμε στο Κεφάλαιο 2.4.2) είναι σχεδόν ιδιάζων, ενώ ένας πίνακας με δείκτη κατάστασης κοντά στη μονάδα βρίσκεται μακριά από το να είναι ιδιάζων. Σημειώστε ότι η ορίζουσα ενός πίνακα δεν είναι μία καλή ένδειξη για να αποφανθούμε πόσο κοντά βρίσκεται ο πίνακας στο να είναι ιδιάζων: αν και, ο πίνακας 369#369 είναι ιδιάζων αν 638#638, το μέγεθος μιας μη μηδενικής ορίζουσας, μεγάλο ή μικρό, δε δίνει πληροφορία σχετικά με το πόσο κοντά σε κάποια ιδιάζουσα κατάσταση βρίσκεται ο πίνακας. Για παράδειγμα, η ορίζουσα 639#639 , η οποία μπορεί να γίνει οσονδήποτε μικρή για 640#640, παρ' όλα αυτά, ο πίνακας είναι τελείως πολύ καλής κατάστασης για οποιοδήποτε μη μηδενικό 641#641, με δείκτη κατάστασης 39#39.

Κάποιες σημαντικές ιδιότητες του δείκτη κατάστασης (ενός αντιστρέψιμου πίνακα) είναι

1. Για κάθε πίνακα 369#369, 642#642.
2. Για τον ταυτοτικό πίνακα, 643#643.
3. Για κάθε μεταθετικό πίνακα 398#398, 644#644.
4. Για κάθε πίνακα 369#369 και πραγματικό μη μηδενικό 385#385, 645#645.
5. Για κάθε διαγώνιο πίνακα 646#646, 647#647.

Θα δούμε σύντομα τη χρησιμότητα του δείκτη κατάστασης στην εκτίμηση της ακρίβειας των λύσεων των γραμμικών συστημάτων. Εφόσον ο ορισμός του δείκτη κατάστασης εμπλέκει τον αντίστροφο ενός πίνακα, στον υπολογισμό της τιμής του, προφανώς ο υπολογισμός του δεν είναι τετριμμένη διαδικασία. Στην πραγματικότητα, για να υπολογίσουμε την τιμή του θα απαιτούσε σημαντικά περισσότερη εργασία από την επίλυση του γραμμικού συστήματος του οποίου την ακρίβεια θέλουμε να εκτιμήσουμε χρησιμοποιώντας το δείκτη κατάστασης. Επομένως, στην πράξη ο δείκτης κατάστασης απλά εκτιμάται, μέσα στα όρια μιας τάξης μεγέθους, ως ένα σχετικά φθηνό υποπροϊόν της διαδικασίας επίλυσης.

Η νόρμα πίνακα 648#648 υπολογίζεται εύκολα ως το μέγιστο άθροισμα των απόλυτων τιμών των στοιχείων της κάθε στήλης του πίνακα (ή το αντίστοιχο άθροισμα των στοιχείων των γραμμών, ανάλογα με τη νόρμα που χρησιμοποιείται). Υπολογίζει τη 649#649 με χαμηλό κόστος που αποτελεί πρόκληση. Από τις ιδιότητες των νορμών, γνωρίζουμε ότι αν 386#386 είναι η λύση του 650#650 τότε:

Το κίνητρο γι' αυτήν την προσέγγιση μπορεί να μην είναι προφανές τώρα, αλλά ουσιαστικά αυτή είναι ισοδύναμη με ένα βήμα της αντίστροφης επανάληψης κατά τον υπολογισμό του ιδιάζοντος διανύσματος το οποίο αντιστοιχεί στην μικρότερη ιδιάζουσα τιμή του 369#369 (δείτε Κεφάλαιο 4). Μία εναλλακτική προσέγγιση στην εκτίμηση του δείκτη κατάστασης είναι να το αντιμετωπίσουμε ως ένα πρόβλημα κυρτής βελτιστοποίησης το οποίο μπορεί να λυθεί πολύ αποτελεσματικά στην πράξη χρησιμοποιώντας έναν ευρετικό αλγόριθμο. Τα περισσότερα καλά σύγχρονα πακέτα λογισμικού για την επίλυση γραμμικών συστημάτων παρέχουν και έναν αξιόπιστο εκτιμητή κατάστασης, βασισμένο σε μη τετριμμένες υλοποιήσεις κάποιας από τις μεθόδους που σκιαγραφήθηκαν εδώ.