Ξεχάσατε τον κωδικό σας?
Τριγωνικά Γραμμικά Συστήματα
Document Actions
Next: Στοιχειώδεις Πίνακες Απαλοιφής Up: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Previous: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Contents
Τριγωνικά Γραμμικά Συστήματα
Η επόμενη ερώτηση είναι τι είδους γραμμικά συστήματα είναι εύκολο να επιλύσουμε. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μία εξίσωση στο σύστημα 413#413 η οποία περιέχει μόνο μία από τις συνιστώσες της ζητούμενης λύσης (δηλαδή, μόνο ένα στοιχείο αυτής της γραμμής του 369#369 είναι μη μηδενικό). Τότε, η εξίσωση μπορεί πολύ εύκολα να λυθεί (με διαίρεση) ως προς τον άγνωστο αυτό. Τώρα ας υποθέσουμε ότι υπάρχει και μία εξίσωση στο σύστημα που περιέχει δύο αγνώστους, ο ένας εκ των οποίων είναι αυτός που έχει προσδιοριστεί. Αντικαθιστώντας τη λύση που έχουμε ήδη βρεί στη δεύτερη εξίσωση μπορούμε πολύ εύκολα να τη λύσουμε και να βρούμε τον άλλο της άγνωστο. Αν αυτό το πρότυπο συνεχίζεται, με ένα μόνο καινούριο άγνωστο να παρουσιάζεται σε κάθε εξίσωση, τότε όλες οι συνιστώσες της λύσης μπορούν να υπολογιστούν διαδοχικά. Ενας πίνακας με αυτήν την ιδιότητα ονομάζεται τριγωνικός, για λόγους που πολύ σύντομα θα καταστούν εμφανείς. Επειδή τα τριγωνικά γραμμικά συστήματα λύνονται εύκολα με αυτή τη διαδικασία διαδοχικών αντικαταστάσεων, αποτελούν επιθυμητούς αντικειμενικούς σκοπούς για το μετασχηματισμό ενός γραμμικού συστήματος γενικής μορφής.
Αν και η γενική τριγωνική μορφή που μόλις περιγράφτηκε είναι ό,τι
ακριβώς χρειάζεται για να μπορέσει το σύστημα να λυθεί με
διαδοχικές αντικαταστάσεις, είναι σκόπιμο να ορίσουμε δύο ειδικές
τριγωνικές μορφές για υπολογιστικούς σκοπούς. Ενας πίνακας είναι
άνω τριγωνικός εάν όλα τα στοιχεία του κάτω από την κύρια διαγώνιο
είναι μηδέν (δηλαδή, αν 414#414 για 415#415). Αντίστοιχα,
ένας πίνακας είναι κάτω τριγωνικός εάν όλα τα στοιχεία του πάνω
από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν (δηλαδή, αν 414#414 για 416#416). Για ένα άνω τριγωνικό σύστημα 379#379, η διαδικασία
διαδοχικών αντικαταστάσεων ονομάζεται πρός τα πίσω αντικατάσταση
και μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
Παρόμοια, για ένα κάτω τριγωνικό σύστημα 379#379, η διαδικασία διαδοχικών αντικαταστάσεων ονομάζεται προς τα μπρός αντικατάσταση και μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
Ενας πίνακας που είναι τριγωνικός με την πιο γενική έννοια, που ορίστηκε προηγουμένως, μπορεί να αναδιαταχθεί σε άνω ή κάτω τριγωνική μορφή με την κατάλληλη μετάθεση των γραμμών ή των στηλών του.
Ας θεωρήσουμε το άνω τριγωνικό σύστημα
Η τελευταία εξίσωση 422#422 μπορεί να λυθεί απευθείας και να δώσει 423#423. Αυτή η τιμή μπορεί να αντικατασταθεί στη δεύτερη εξίσωση δίνοντάς μας 424#424, και τελικά τα 425#425 και 426#426 αντικαθίστανται στην πρώτη εξίσωση δίνοντάς μας 427#427.
Manolis Vavalis 2000-03-24
