Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών

Οι μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για τα ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών προχωρούν όπως έχουμε δει και πιο πριν: ορίζουμε μία διακριτή διαμέριση σημείων μέσα στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης, αντικαθιστούμε τις παραγώγους στη ΜΔΕ με πεπερασμένες διαφορές, και ψάχνουμε για μία αριθμητική λύση στην καθεμία από τις διαμερίσεις σημείων. Παρόλα αυτά, σε αντίθεση με τα προβλήματα που εξαρτώνται από το χρόνο, δεν παράγουμε τη λύση βαθμιαία προχωρώντας προς τα εμπρός στο χρόνο, αλλά αντί αυτού καθορίζουμε την προσεγγιστική λύση σε όλα τα σημεία διαμέρισης ταυτόχρονα λύνοντας ένα μόνο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων.

Σε ένα πρακτικό πρόβλημα, το μέγεθος της διαμέρισης 63#63 θα ήταν πολύ μικρότερο και το γραμμικό σύστημα που προκύπτει θα ήταν πολύ μεγαλύτερο από ότι στο προηγούμενο παράδειγμα. Παρόλα αυτά, ο πίνακας θα ήταν πολύ αραιός, αφού και πάλι η κάθε εξίσωση θα ενέπλεκε το πολύ μόνο πέντε από τις μεταβλητές, και ως εκ τούτου θα εξοικονομούσε σημαντικά εργασία και αποθηκευτικό χώρο. Μπορούμε να γίνουμε λίγο πιο συγκεκριμένοι σχετικά με το μη μηδενικό πρότυπο του πίνακα ενός τέτοιου γραμμικού συστήματος. Έχουμε ήδη δει στην Ενότητα 10.4 πώς αυτός ο τύπος της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών αν εφαρμοστεί σε ένα μονοδιάστατο πλέγμα παράγει ένα τρισδιαγώνιο σύστημα. Ένα ορθογώνιο δισδιάστατο πλέγμα μπορούμε να το σκεφτούμε ως ένα μονοδιάστατο πλέγμα από μονοδιάστατα πλέγματα. ’ρα, με μία ταξινόμηση των σημείων του πλέγματος σε γραμμές ή σε στήλες, ο πίνακας που θα προκύψει θα είναι μπλοκ τριδιαγώνιος, με το κάθε μη μηδενικό μπλοκ να είναι τρισδιαγώνιο ή διαγώνιο. Ένα τέτοιο πρότυπο μόλις που διακρίνεται στον πίνακα του προηγούμενου παραδείγματος, όπου τα μπλοκς είναι μόνο 1654#1654. Για ένα λίγο μεγαλύτερο παράδειγμα, όπου το πρότυπο είναι πιο ευδιάκριτο, δείτε το Σχήμα 11.6. Αυτό το πρότυπο γενικεύεται σε ένα τρισδιάστατο πλέγμα, το οποίο μπορούμε να το δούμε ως ένα μονοδιάστατο πλέγμα από δισδιάστατα πλέγματα, οπότε ο πίνακας θα ήταν μπλοκ τριδιαγώνιος, με τα ίδια τα μη μηδενικά μπλοκς να είναι μπλοκ τριδιαγώνια, και τα επιμέρους μπλοκς τους να είναι τρισδιαγώνια. Φυσικά, για ένα λιγότερο συνηθισμένο πλέγμα ή διαμέριση, ή για ένα πιο πολύπλοκο 1655#1655 πεπερασμένων διαφορών, το πρότυπο δεν θα ήταν τόσο απλό, αλλά η αραιότητα θα επικρατούσε και πάλι εξαιτίας του ότι συνδέονται τοπικά μεταξύ τους τα σημεία του πλέγματος.