Ημιδιακριτές Μέθοδοι Κατά Τη Χρήση Πεπερασμένων Στοιχείων

Η διακριτοποίηση του χώρου για τη μετατροπή μίας ΜΔΕ σε ένα σύστημα από 1407#1407 μπορεί ακόμα να γίνει και μέσω μίας προσέγγισης πεπερασμένων στοιχείων. Όπως κάναμε και για τα προβλήματα ορίων σε δύο σημεία για τις 1407#1407, προσεγγίζουμε τη λύση μέσω ενός γραμμικού συνδυασμού βασικών συναρτήσεων, με εξαίρεση το γεγονός ότι τώρα οι συντελεστές εξαρτώνται από το χρόνο. ’ρα, αναζητούμε μία προσεγγιστική λύση της μορφής

όπου 1578#1578 είναι η βασική συνάρτηση στο πεδίο ορισμού και 1579#1579 είναι οι συντελεστές που εξαρτώνται από το χρόνο. Αν χρησιμοποιήσουμε συγκριτική παράθεση (θα μπορούσαμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους Ritz και Galerkin), τότε αντικαθιστούμε αυτή την προσέγγιση στη ΜΔΕ και απαιτούμε η εξίσωση να ικανοποιείται επ' ακριβώς σε ένα διακριτό σύνολο σημείων 1580#1580. Για τη θερμική εξίσωση, για παράδειγμα, μας δίνει ένα σύστημα από 1407#1407

του οποίου η λύση είναι το σύνολο των συντελεστών συναρτήσεων 1579#1579 που καθορίζει την προσεγγιστική λύση της ΜΔΕ.

Η άμεση μορφή του προηγούμενου συστήματος 1407#1407 δεν είναι η έμμεση μορφή που απαιτείται από τις συνηθισμένες μεθόδους 1395#1395, οπότε ορίζουμε τους 1409#1409 πίνακες Α και Β από τις

Υποθέτωντας ότι ο πίνακας Α είναι μη ιδιάζον, παίρνουμε το σύστημα από 1407#1407

το οποίο βρίσκεται σε μία μορφή κατάλληλη για να λυθεί με το τυπικό λογισμικό για 1407#1407 (όπως συνήθως, ο πίνακας Α δε χρειάζεται να είναι άμεσα αντεστραμμένος, αλλά χρησιμοποιείται μερικά στην επίλυση γραμμικών συστημάτων). Παρόλα αυτά, ακόμα χρειαζόμαστε μία αρχική κατάσταση για την 1395#1395, την οποία μπορούμε να πάρουμε απαιτώντας από τη λύση να ικανοποιεί τη δοσμένη αρχική κατάσταση για τη ΜΔΕ στα σημεία 1580#1580. Και πάλι, οι πίνακες που εμπλέκονται σε αυτή τη μέθοδο θα είναι αραιοί αν οι βασικές συναρτήσεις είναι "τοπικές", όπως οι 1584#1584. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε χαρακτηριστικές συναρτήσεις της διαφορικής συνάρτησης (π.χ., τριγωνομετρικές συναρτήσεις για την 1562#1562) ως βασικές συναρτήσεις, γεγονός που θα έδινε μία φασματική μέθοδο, ή άλλες βασικές συναρτήσεις, όπως τα πολυώνυμα 1585#1585 και 1359#1359, που θα έδιναν μία ψευδοφασματική μέθοδο.

Σε αντίθεση με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων δεν παράγει ευθέως προσεγγιστικές τιμές της λύσης 570#570, αλλά μάλλον παράγει μία αναπαράσταση της προσεγγιστικής λύσης ως γραμμικό συνδυασμό των βασικών συναρτήσεων. Οι βασικές συναρτήσεις εξαρτώνται μόνο από τη μεταβλητή στο χώρο, αλλά οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού (που δίνονται από τη λύση του συστήματος των 1407#1407) εξαρτώνται από το χρόνο. ’ρα, για κάθε δοσμένο χρόνο 49#49, ο αντίστοιχος γραμμικός συνδυασμός των βασικών συναρτήσεων παράγει μία διατομή της επιφάνειας της λύσης παράλληλη στον άξονα του χώρου.

Όπως και με τις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών, τα συστήματα των 1407#1407 τα οποία ανέρχονται από την ημιδιακριτοποίηση μίας ΜΔΕ από πεπερασμένα στοιχεία τείνει να είναι stiff, γεγονός που θα έπρεπε να ληφθεί υπ' όψιν κατά την επιλογή μίας μεθόδου 1395#1395 για την επίλυσή τους.