AΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

Η μέθοδος 18#18 είναι μία έμμεση μέθοδος με την έννοια ότι χρησιμοποιεί μόνο τις πληροφορίες της χρονικής στιγμής 1421#1421 για να προάγει τη λύση στη χρονική στιγμή 1488#1488. Αυτό μπορεί να φαίνεται να είναι πλεονέκτημα, αλλά είδαμε ότι η μέθοδος 18#18 έχει ένα μάλλον περιορισμένο διάστημα σταθερότητας της τάξεως του (-2,0). Μπορούμε να πάρουμε μία μεγαλύτερη περιοχή σταθερότητας χρησιμοποιώντας πληροφορίες της χρονικής στιγμής 1488#1488, γεγονός που κάνει τη μέθοδο άμεση. Το απλούστερο παράδειγμα είναι η προς τα πίσω μέθοδος 18#18,

Δοσμένου ενός ακόμα προβλήματος και ενός υπολογισμού κατά τη χρήση μίας άμεσης μεθόδου, θα μπορούσε κανείς να αναρωτιέται ποιος ο λόγος να ενοχληθούμε. Η απάντηση είναι ότι οι άμεσες μέθοδοι γενικά έχουν μία σημαντικά μεγαλύτερη περιοχή σταθερότητας από τις ισοδύναμες έμμεσες μεθόδους. Για να καθορίσουμε τη σταθερότητα της προς τα πίσω μεθόδου 18#18, την εφαρμόζουμε στη γραμμική 1474#1474, παίρνοντας

’ρα, για να μιμηθούμε την εκθετική μείωση της ακριβούς λύσης όταν λ<0, πρέπει να έχουμε 1499#1499. Επιπλέον, ο παράγοντας αύξησης

Γενικότερα, ο ενισχυτικός παράγοντας για την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 για μία βαθμωτή εξίσωση είναι 1502#1502, ο οποίος έχει μέγεθος μικρότερο του 1 για κάθε θετικό 63#63 δεδομένου ότι 1503#1503. ’ρα, το διάστημα της σταθερότητας για την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 είναι το 1504#1504, ή ολόκληρο το αριστερό μισό του μιγαδικού επιπέδου στην περίπτωση που έχουμε σύστημα εξισώσεων, και άρα για μία σταθερή εξίσωση η μέθοδος είναι σταθερή για κάθε θετικό μέγεθος βήματος. Μία τέτοια μέθοδος λέγεται σταθερή ανεξαρτήτου κατάστασης (άλλοι όροι που χρησιμοποιούνται μερικές φορές για αυτή την αρχή είναι απόλυτα σταθερή, 369#369-σταθερή, ή 1505#1505-σταθερή). Το μεγάλο πλεονέκτημα μίας σταθερής ανεξαρτήτου κατάστασης μεθόδου είναι ότι η τοπική ακρίβεια που θέλουμε θέτει τον μοναδικό μας περιορισμό στην επιλογή του μεγέθους του βήματος. ’ρα, μπορεί να έχουμε τη δυνατότητα να κάνουμε πολύ μεγαλύτερα βήματα από ότι θα κάναμε για μία έμμεση μέθοδο ισοδύναμης τάξεως και να πετύχουμε πολύ περισσότερη αποδοτικότητα συνολικά παρόλο που απαιτούνται περισσότεροι υπολογισμοί στο κάθε βήμα.

Παρόλο που η προς τα πίσω μέθοδος 18#18 είναι σταθερή ανεξαρτήτου κατάστασης, η πρώτου βαθμού ακρίβειά της περιορίζει αυστηρά τη χρησιμότητά της. Μπορούμε να πάρουμε μία μέθοδο ακρίβειας μεγαλύτερου βαθμού συνδιάζοντας τη μέθοδο 18#18 και την προς τα πίσω μέθοδο 18#18. Πιο συγκεκριμένα, παίρνοντας τον μέσο όρο αυτών των δύο μεθόδων μας δίνει τον άμεσο κανόνα του τραπεζίου

Άρα, η μέθοδος είναι σταθερή αν 1509#1509, που είναι αληθές για κάθε θετική τιμή του 63#63 υπό τον όρο ότι λ < 0. Επιπρόσθετα, ο παράγοντας αύξησης

Πιο γενικά, ο κανόνας του τραπεζίου είναι ενισχυμένος με τον παράγοντα 1511#1511, ο οποίος έχει μέγεθος μικρότερο της μονάδας, για κάθε θετικό μέγεθος βήματος υπό τον όρο ότι 1503#1503. Οι περιοχές σταθερότητας που προκύπτουν είναι το διάστημα 1512#1512 για μία βαθμωτή εξίσωση και ολόκληρο το αριστερό μισό του μιγαδικού επιπέδου για ένα σύστημα εξισώσεων. ’ρα, ο κανόνας του τραπεζίου είναι σταθερός ανεξαρτήτου κατάστασης, ενώ επίσης είναι και δευτέρου βαθμού ακρίβειας. Προκύπτει ότι αυτή είναι η μεγαλύτερου βαθμού ακρίβεια που μπορεί να υπάρξει για μία μέθοδο σταθερή ανεξαρτήτου κατάστασης.

Τώρα έχουμε δει δύο παραδείγματα άμεσων μεθόδων που είναι σταθερές ανεξαρτήτου καταστάσεως, αλλά δεν έχουν όλες οι άμεσες μέθοδοι αυτή την ιδιότητα. Οι άμεσες μέθοδοι γενικά έχουν μεγαλύτερες περιοχές σταθερότητας από τις έμμεσες μεθόδους, αλλά το επιτρεπόμενο μέγεθος βήματος δεν είναι πάντα απεριόριστο. Η ιδιότητα της συνεπαγωγής δεν είναι αρκετή για να εγγυηθεί σταθερότητα, και η σταθερότητα δεν είναι αρκετή για να εγγυηθεί ακρίβεια.