Ξεχάσατε τον κωδικό σας?
Ευσταθείς και Ασταθείς ΣΔΕ
Document Actions
Next: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ODES Up: ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Previous: ΣΔΕ Υψηλότερης Τάξης Contents
Ευσταθείς και Ασταθείς ΣΔΕ
Μιλώντας πρόχειρα, αν τα μέλη της οικογένειας λύσεων για μία ΣΔΕ απομακρύνονται μεταξύ τους με το πέρασμα του χρόνου, τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι ασταθής. Αλλά αν τα μέλη της οικογένειας λύσεων πλησιάζουν το ένα στο άλλο με το πέρασμα του χρόνου, τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. Αν οι καμπύλες των λύσεων ούτε συγκλίνουν ούτε αποκλίνουν (δηλ., παραμένουν κοντά αλλά δεν συγκλίνουν στ' αλήθεια), τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι ουδέτερα σταθερή. Αυτός ο ορισμός της σταθερότητας για τις ΣΔΕ συμφωνεί με τη γενική αρχή της σταθερότητας όπως αυτή συζητήθηκε στην Ενότητα 1.2.7 και γι' αυτό εκφράζει την ευαισθησία μίας λύσης ΣΔΕ στις διαταραχές. Μία μικρή διαταραχή σε μία λύση σταθερής εξίσωσης θα εξασθενίσει με το πέρασμα του χρόνου επειδή οι καμπύλες των λύσεων συγκλίνουν, ενώ για μία ασταθή εξίσωση η διαταραχή θα μεγαλώνει με το χρόνο επειδή οι καμπύλες των λύσεων αποκλίνουν.
Η σταθερότητα ενός κώνου παρέχει μία γεωμετρική αναλογία που βοηθάει. Αν ένας κώνος ο οποίος ηρεμεί στην κυκλική του βάση διαταραχθεί ελαφρώς, θα επιστρέψει στην αρχική του θέση. Η θέση είναι σταθερή. Αν ένας κώνος ταλαντεύεται στη θέση του, η παραμικρή διαταραχή θα προκαλέσει την πτώση του. Η θέση είναι ασταθής. Αν ένας κώνος ηρεμεί στην επικλινή πλευρά του, τότε η παραμικρή διαταραχή θα μετακινήσει τον κώνο σε μία θέση κοντά σε αυτή που ήταν. Η θέση είναι ουδέτερα σταθερή.
Παρατηρείστε ότι η αρχή της σταθερότητας μίας 1395#1395 εξαρτάται από ολόκληρη την οικογένεια των λύσεων, όχι μόνο από μία ορισμένη λύση. Ακόμα, τόσο η σταθερή όσο και η ασταθής συμπεριφορά μπορούν να συναντηθούν σε διαφορετικά τμήματα της περιοχής που μας ενδιαφέρει για την ίδια εξίσωση.
Αυτή η ποιοτική αρχή της σταθερότητας για μία 1395#1395 1367#1367 μπορεί να γίνει πιο ακριβής ποιοτικά αν θεωρήσουμε τον Ιακωβιανό πίνακα 1396#1396 με εισόδους
Αν οποιαδήποτε από τις ιδιοτιμές αυτού του πίνακα έχει θετικά πραγματικά τμήματα, τότε η εξίσωση είναι ασταθής. Αν όλες οι ιδιοτιμές έχουν αρνητικά πραγματικά τμήματα, τότε η εξίσωση είναι σταθερή. Αν μία ή περισσότερες ιδιοτιμές έχουν μηδενικά πραγματικά τμήματα, και όλο το υπόλοιπο έχει αρνητικά πραγματικά τμήματα, τότε η εξίσωση είναι ουδέτερα σταθερή. Αφού τα στοιχεία του 1396#1396 είναι συναρτήσεις των 49#49 και 170#170, οι ιδιοτιμές του μπορεί να ποικίλουν με το πέρασμα του χρόνου, και άρα η σταθερότητα της εξίσωσης μπορεί να ποικίλει από πεδίο σε πεδίο.
ΣΧΗΜΑ 9.2 ΣΧΗΜΑ 9.3 Η οικογένεια των καμπυλών Η οικογένεια καμπυλών λύσεων για λύσεων για την 1395#1395 1399#1399. την 1395#1395 1406#1406.
, όπου Α είναι ένας 1409#1409 πίνακας. Υποθέτουμε ότι έχουμε την αρχική συνθήκη 1410#1410. Έστω ότι οι ιδιοτιμές του Α δηλώνονται από το 1411#1411, και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα από το 1412#1412. Για λόγους απλότητας, υποθέστε ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, έτσι ώστε να μπορούμε να εκφράσουμε το 1369#1369 ως ένα γραμμικό συνδυασμό
Τότε επιβεβαιώνεται εύκολα ότι η
είναι μία λύση στην 1395#1395 η οποία ικανοποιεί την αρχική συνθήκη. Βλέπουμε ότι οι ιδιοτιμές του Α με θετικά πραγματικά τμήματα παράγουν εκθετικά αυξανόμενες συνιστώσες της λύσης, οι ιδιοτιμές με αρνητικά τμήματα παράγουν εκθετικά μειούμενες συνιστώσες της λύσης, και ακέραιες φανταστικές ιδιοτιμές με μηδενικά πραγματικά τμήματα παράγουν ταλαντούμενες συνιστώσες της λύσης. Τα παραπάνω είναι σύμφωνα με τους ορισμούς μας για την αστάθεια, τη σταθερότητα και την ουδέτερη σταθερότητα, αντίστοιχα, όπως 1415#1415 για αυτό το πρόβλημα.
Manolis Vavalis 2000-03-24
