Ξεχάσατε τον κωδικό σας?
Προβλήματα Αρχικών Τιμών
Document Actions
Next: ΣΔΕ Υψηλότερης Τάξης Up: ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Previous: ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Contents
Προβλήματα Αρχικών Τιμών
Απο μόνη της μία διαφορική εξίσωση 1367#1367 δεν καθορίζει μοναδικά την συνάρτηση λύσης επειδή απο μόνη της η εξίσωση ορίζει την κλήση 1368#1368 της συνάρτησης λύσης σε κάθε σημείο και όχι την τιμή της. Κατ' αυτόν το τρόπο, γενικά υπάρχει μιά ολόκληρη οικογένεια συναρτήσεων που ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση, υποθέτοντας φυσικά οτι η 51#51 είναι αρκετά ομαλή.
Για να έχουμε μοναδικότητα της λύσης, πρέπει να ορίσουμε με κάποιον τρόπο την τιμή 1369#1369 της λύσης σε κάποιο σημείο το οποίο ας συμβολίσουμε με 1370#1370. Συνεπώς ένα μέρος των δεδομένων του δοθέντος προβλήματος είναι η συνθήκη
Η επιπρόσθετη αυτή συνθήκη ορίζει μοναδικά την λύση της ΣΔΕ, υποθέτοντας ότι η 51#51 είναι συνεχώς διαφορίσιμη. Επειδή συνήθως η μεταβλητή 49#49 παριστά χρόνο, συχνά θεωρούμε το 1370#1370 σαν αρχική χρονική στιγμή και το 1369#1369 σαν αρχική τιμή. Αυτός είναι ο λόγος που το παραπάνω πρόβλημα αναφέρεται σαν πρόβλημα αρχικών τιμών. Η ΣΔΕ καθορίζει την δυναμική εξέλιξη του συστήματος στον χρόνο σχετικά με την αρχική κατάστασή του 1369#1369 στην χρονική στιγμή 1370#1370 και αναζητούμε μια συνάρτηση 1372#1372 η οποία περιγράφει την κατάσταση του συστήματος σαν συνάρτηση του χρόνου.
Θεωρήστε την συνήθη διαφορική εξίσωση 17#17, η οποία είναι μια
ΣΔΕ της μορφής 1367#1367, όπου 1373#1373. Η οικογένεια των
λύσεων της εξίσωσης αυτής δίνεται απο την σχέση 1374#1374,
όπου 655#655 είναι ένας τυχαίος πραγνατικός αριθμός. Έαν επισυνάψουμε
μια αρχική συνθήκη, απαιτώντας να ισχύει η σχέση 1375#1375, τότε ορίζουμε μοναδικά την συνάρτηση τησ λύσης που
ικανοποιεί την αρχική αυτήν συνθήκη. Για παράδειγμα εάν 1376#1376,
τότε έχουμε 1377#1377, το οποίο σημαίνει ότι η λύση είναι
1378#1378. Στο σχήμα ![[*]](file:/p/www/lib/latex2html-99.2beta6/icons/crossref.png){kind=icon}
παρουσιάζονται μερικές απο τις
συναρτήσεις που ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση
συμπεριλαμβανομένης και αυτής που ικανοποιεί και την αρχική
συνθήκη.
Manolis Vavalis 2000-03-24
